Чему равна площадь всех граней куба
Площадь поверхности куба.
Площадь поверхности куба – это суммарная площадь всех поверхностей фигуры. Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Площадь поверхности является числовой характеристикой поверхности. Для вычисления площади поверхности куба, Вам необходимо знать определенную формулу и длину одной из сторон куба. Для того чтобы Вы могли оперативно вычислить площадь поверхности куба, вам необходимо запомнить формулу и сам порядок действий. Чуть ниже мы подробно разберем порядок вычисления полной площади поверхности куба и приведем конкретные примеры.
Определение площади поверхности куба.
Определение площади поверхности куба выполняется по формуле SA = 6а 2 . Куб (правильный гексаэдр) – это один из 5 видов правильных многогранников, который является правильным прямоугольным параллелепипедом, куб имеет 6 граней, каждая из этих граней является квадратом.
Для вычисления площади поверхности куба Вам необходимо записать формулу SA = 6а 2 . Теперь давайте разберем почему данная формула имеет такой вид. Как мы говорили ранее, куб имеет шесть равных квадратных граней. Исходя из того что стороны квадрата равны, площадь квадрата составлять – a 2 , где а – сторона куба. Так куба имеет 6 равных квадратных граней, то для определения площади его поверхности, Вам необходимо умножить площадь одной грани (квадрата) на шесть. В итоге получаем формулу для вычисления площади поверхности (SA) куба: SA = 6а 2 , где а – ребро куба (сторона квадрата).
Чему равна площадь поверхности куба.
Площадь поверхности куба измеряется в квадратных единицах, к примеру, в мм 2 , см 2 , м 2 и так далее. Для дальнейших расчетов Вам необходимо будет измерить ребро куба. Как мы знаем, ребра у куба равны, поэтому Вам будет достаточно измерить только одно (любое) ребро куба. Выполнить такой замер Вы можете при помощи линейки (или рулетки). Обратите внимание на единицы измерения на линейке или рулетке и запишите значение, обозначив его через а.
Полученное значение возведите в квадрат. Таким образом, Вы возведите в квадрат длину ребра куба. Для того чтобы возвести число в квадрат умножьте его на себя. Наша формула будет иметь следующий вид: SA = 6*а 2
Вы вычислили значение площади одной из граней куба.
a 2 = 2 х 2 = 4 см 2
Полученное значение умножайте на шесть. Не забывайте, что у куба 6 равных граней. Определив площадь одной из граней, умножьте полученное значение на 6, чтобы все грани куба участвовали в расчете.
Вот мы и пришли к конечному действию по вычислению площади поверхности куба.
Немного информации о кубе и о способах того, как вычислить площадь поверхности куба
Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются. И неважно, что нужно найти – объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.
Что такое площадь?
Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины. Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.
Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.
Какая фигура называется кубом?
Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.
Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.
Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.
Как связан куб с другими фигурами и телами?
Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше. Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником. Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.
Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.
В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.
Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.
Метод 1: вычисление площади куба по его ребру
Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».
Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S1.
Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой.
Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a 2 . Ее номер 2.
Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела
Этот способ сводится к тому, чтобы сосчитать длину ребра по известному объему. И потом уже воспользоваться известной формулой, которая здесь обозначена цифрой 2.
Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:
Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.
Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:
Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.
Метод 3: расчет площади по диагонали куба
Для того чтобы рассчитать площадь полной поверхности куба, также потребуется вывести ребро через известную диагональ. Здесь используется формула для главной диагонали гексаэдра:
Из нее легко вывести выражение для ребра куба:
Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:
Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.
Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба
Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:
Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.
Обозначив радиус вписанной окружности латинской буквой r, можно получить такую формулу для площади всей поверхности гексаэдра:
Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра
Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:
Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.
Примеры задач
Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.
1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:
а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).
Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.
2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.
Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.
х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.
d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.
Ответ: диагональ куба равна 10 см.
Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см 2 , вычислить объем куба.
Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.
Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 3 3 = 27 см 3 .
Ответ: объем куба равен 27 см 3 .
Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.
Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).
Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая – для начального значения ребра – совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:
6 * (а + 9) 2 – 6 * а 2 = 594.
Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9) 2 – а 2 . Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 – а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).
Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить. Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.
Площадь боковой поверхности куба
Свойства
Площадь боковой поверхности куба объединяет в себе все боковые грани куба, которые представляют собой квадраты с равными сторонами и площадями. Поэтому площадь боковой поверхности куба равна ребру, возведенному во вторую степень и умноженному на четыре, а ребро куба, выраженное через площадь боковой поверхности, равно квадратному корню из площади, деленному на 2. S_(б.п.)=4a^2 a=√(S_(б.п.)/4)=√(S_(б.п.) )/2
Вычислить площадь одной грани куба через площадь боковой поверхности можно не прибегая к извлечению квадратного корня, исходя из ее определения. Для этого нужно площадь боковой поверхности разделить на количество граней – 4. Чтобы найти площадь полной поверхности через площадь боковой поверхности, необходимо разделить последнюю на 4 и умножить на 6. S=S_(б.п.)/4 S_(п.п.)=6/4 S_(б.п.)=(3S_(б.п.))/2
Объем куба обычно рассчитывается как третья степень ребра куба, для того чтобы вычислить объем куба через площадь боковой поверхности нужно подставить вместо ребра выведенную раннее формулу. V=a^3=(√(S_(б.п.) )/2)^3=√(〖S_(б.п.)〗^3 )/8
Периметр куба является длиной всех его ребер a, следовательно, для его нахождения необходимо умножить одно ребро на 12. Чтобы найти периметр куба через площадь боковой поверхности, подставим вместо стороны a половину квадратного корня из площади. P=12a=12 √(S_(б.п.) )/2=6√(S_(б.п.) )
Чтобы вычислить диагональ стороны куба, наиболее быстрым способом будет воспользоваться формулой для диагонали квадрата, которая равна стороне квадрата, умноженной на корень из двух. Так как ребро куба, являющееся по совместительству стороной квадрата, равно корню из площади боковой поверхности, деленному на два, то диагональ стороны куба будет равна квадратному корню из площади, деленной на два, полученному в ходе преобразования коэффициентов. d=a√2=√(S_(б.п.) )/2 √2=√(S_(б.п.)/2)
Найти диагональ куба можно из прямоугольного треугольника, который можно получить, соединив боковое ребро и диагональ куба через диагональ основания. По теореме Пифагора, диагональ куба будет равна ребру куба, умноженному на корень из трех. (рис.2.1) a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3=√(3S_(б.п.) )/2
Если в куб вписать сферу, то ее радиус становится равным половине ребра куба, или квадратному корню из площади боковой поверхности, разделенной на 4. (рис. 2.2) r=a/2=√(S_(б.п.) )/4
Радиус сферы, описанной вокруг куба, можно найти через площадь боковой поверхности, если, умножив ее на три, извлечь квадратный корень и разделить его на 4. (рис.2.3) R=D/2=√(3S_(б.п.) )/2
